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如果存在n个连续自然数的平方和为质数,则n的所有取值的平方和等于

来源:学生作业帮 编辑:大象学习网作业帮 分类:数学作业 时间:2021/07/29 08:35:45
如果存在n个连续自然数的平方和为质数,则n的所有取值的平方和等于
n=1,1^2=1不是质数,其他数的平方是合数,因此n不为1.n=2,1^2+2^2=5是质数.n=3,2^2+3^2+4^2=29是质数.连续四个自然数的平方和必是偶数.n不为4.结合上面的回答知道n只能是2,3.故平方和为13
再问: 正确答案是49
再答: n=6时,2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=139是质数。刚才弄错了。要考虑的问题实质上是:k^2+(k+1)^2+...+(k+n-1)^2在什么情况下必然是合数。当n=6m时,代入时可能出现m=1的情况,因此可能出现质数。其他情况,必有大于1的因子。比如说n=6m+3时,平方和是nk^2+kn(n-1)+n(n-1)(2n-1)/6=(6m+3)k^2+(6m+3)(6m+2)k+(6m+3)(6m+2)(12m+5)/6,必有因子2m+1。其余情况类似证明。最后得到2^2+3^2+6^2=49